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2.13 Suficiencia minimal 201

suficiente con el n´umero m´as peque˜no posible de valores. De este hecho pro-
viene el adjetivo minimal en la definici´on anterior. En general, puede haber

varias estad´ısticas suficientes minimales para un par´ametro. Retomaremos
este tema m´as adelante.

Regresando a la definici´on de suficiencia minimal, observemos que la aplica-
ci´on directa de la definici´on puede ser una tarea dif´ıcil pues, por la segunda
condici´on, debe comprobarse que la estad´ıstica suficiente minimal es funci´on
de cualquier otra estad´ıstica suficiente. Afortunadamente se cuenta con el
siguiente resultado que establece condiciones un tanto m´as sencillas de com-
probar que garantizan la suficiencia minimal de una estad´ıstica.

Teorema 2.6 (Criterio para suficiencia minimal) Sea X ,...,X n
1
una muestra aleatoria de una distribuci´on con funci´on de densidad o

de probabilidad fpx, θq, dependiente de un par´ametro θ. Sea T una es-
n
n
tad´ıstica y sean x y y dos valores cualesquiera de la muestra aleatoria.
Si se cumplen las dos implicaciones

” n ı ” ı
fpx , θq n n
no depende de θ ô Tpx q“ Tpy q , (2.16)
n
fpy , θq
entonces T es suficiente minimal para θ.

Demostraci´on. Demostraremos primero la suficiencia y para ello utiliza-
n
remos el teorema de factorizaci´on. Sea x un valor cualquiera de la muestra
aleatoria y supongamos que t es su imagen bajo la estad´ıstica T,esde-
n
n
cir, Tpx q“ t.Sea y otro posible valor de la muestra aleatoria tal que
n
Tpy q“ t. Este otro valor de la muestra aleatoria no necesariamente es
n
distinto de x , pues puede ser que no haya otro valor con esa propiedad.
Es importante observar que, por el orden en que fueron considerados estos
n
n
objetos, y depende de x ´unicamente a trav´es del valor t.Estoseilustra
en la Figura 2.11.