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200 2. Estimaci´ on puntual

escribir en t´erminos de las coordenadas de S.Porejemplo,la primera

de ellas es X “ m´ın tX ,...,X u.
p1q 1 n

‚ La estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨ ` X es funci´on del vector de estad´ısticas
n
1
de orden S “pX ,...,X q,puespodemosexpresar a T como la
p1q pnq
suma X `¨ ¨ ¨ ` X .
p1q pnq
‚

Otros ejemplos de situaciones en donde una estad´ıstica es, o no es, funci´on
de otra estad´ıstica se muestran en la secci´on de ejercicios.

Una observaci´on importante sobre la situaci´on cuando una estad´ıstica es

funci´on de otra estad´ıstica es la siguiente: si T es funci´on de S,es decir,si
T “ τ ˝ S, entonces la cardinalidad del conjunto de valores de T es menor o
igual a la cardinalidad del conjunto de valores de S.Esta afirmaci´on es m´as
f´acil de comprender si se considera el caso cuando estos rangos de valores
son finitos: si S toma k valores, entonces T toma a lo sumo k valores. En
este sentido, consideraremos que T es m´as peque˜na o m´as compacta que S,
yesto es una interpretaci´on al concepto de suficiencia minimal que defini-

remos a continuaci´on.

Definici´on 2.27 Se dice que una estad´ıstica T es suficiente minimal

para un par´ametro θ si cumple las siguientes dos condiciones:

a) T es suficiente para θ.

b) T es minimal, es decir, es funci´on de cualquier otra estad´ıstica sufi-

ciente para θ.

Por lo tanto, si T es suficiente minimal, entonces para cada estad´ıstica sufi-
ciente S existe una funci´on τ tal que T se puede escribir como la composici´on
τ ˝S. Y en consecuencia, la cardinalidad del conjunto de valores de T es me-
nor o igual a la cardinalidad del conjunto de valores de cualquier estad´ıstica
suficiente S. En otras palabras, T es suficiente minimal si es una estad´ıstica