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2.13 Suficiencia minimal 199

Definici´on 2.26 Se dice que una estad´ıstica T es una funci´on de otra
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n
estad´ıstica S si para cualesquiera dos valores x y y de una muestra
aleatoria se cumple la implicaci´on

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Spx q“ Spy qñ Tpx q“ Tpy q.
Esta definici´on de funci´on puede parecer un poco extra˜na, pero realmente
no lo es. El siguiente argumento compatibiliza esta definici´on con la noci´on
usual de funci´on: recordemos que una relaci´on τ de un conjunto A en un
conjunto B es una funci´on si para cada elemento a en A existe un ´unico
elemento b en B tal que τpaq“ b.Demanera equivalente, τ es una funci´on

si se cumple la implicaci´on: τpa q‰ τpa qñ a ‰ a . Por lo tanto,
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n n n n
T es una funci´on τ de S ôr τpSpx qq ‰ τpSpy qq ñ Spx q‰ Spy qs
n n n n
ôr Spx q“ Spy qñ τpSpx qq “ τpSpy qq s
n
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n
n
ôr Spx q“ Spy qñ Tpx q“ Tpy qs .
La ´ultima condici´on es la que aparece en la Definici´on 2.26 y de esta manera
hemos comprobado que es equivalente a la noci´on usual de funci´on.

Observemos que no hay restricci´on alguna sobre las dimensiones de las es-
tad´ısticas T y S en la Definici´on 2.26, de modo que ´estas pueden ser vec-
tores de estad´ısticas de cualquier dimensi´on. Adem´as, estas dimensiones

no necesariamente deben ser coincidentes. Por ejemplo, supongamos que
S es la estad´ıstica dada por el vector de la muestra aleatoria, es decir,
S “pX ,...,X q.Entonceses claro quetodaestad´ıstica o vector de es-
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tad´ısticas es funci´on de esta estad´ıstica S. Veamos otros ejemplos.

Ejemplo 2.46 Sea X ,...,X una muestra aleatoria. Entonces
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‚ La estad´ıstica T “pX `¨ ¨ ¨ ` X q{n es funci´on de la estad´ıstica
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S “ X `¨ ¨ ¨ ` X ,pues T “ S{n.
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‚ El vector de estad´ısticas T “pX ,...,X q es funci´on del vector de
p1q pnq
estad´ısticas S “pX ,...,X q, pues cada coordenada de T se puede
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