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198 2. Estimaci´ on puntual

1
conocido θ.Demuestre que el vector de estad´ısticas T “pX ,...,X q
n
es siempre suficiente para θ.
226. Estad´ısticas de orden. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
n
1
una distribuci´on dependiente de un par´ametro o vector de par´ametros
desconocido θ. Demuestre que el vector de estad´ısticas de orden T “
pX ,...,X q es siempre suficiente para θ.
p1q pnq

227. Distribuci´on Bernoulli. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on Berpθq, con θ desconocido. Demuestre que el vector de
estad´ısticas pT ,T q es suficiente para θ,en donde, para1 ď k ď n´1,
1
2
T 1 “ X `¨ ¨ ¨` X ,
k
1
T 2 “ X k`1 `¨ ¨ ¨ ` X .
n

228. Demuestre que toda funci´on biyectiva de un vector suficiente de es-
tad´ısticas pT ,...,T q para un vector de par´ametros pθ ,..., θ q es
'
1
1
k
tambi´en suficiente. Este es el contenido de la Proposici´on 2.9.
229. Informaci´on adicional. Sea pT ,...,T q suficiente para pθ ,..., θ q.
1
1
k
'
Suponga que T k`1 es una estad´ıstica adicional. Demuestre que el vec-
tor pT ,...,T k`1 q tambi´en es suficiente para pθ ,..., θ q.
1
1
'
2.13. Suficiencia minimal

Como hemos visto antes, la cualidad de ser suficiente para una estad´ıstica
significa que ´esta preserva de manera completa la informaci´on de la mues-
tra aleatoria para estimar un par´ametro desconocido. Sin embargo, pueden
existir varias estad´ısticas suficientes para un mismo par´ametro y es posible
buscar entre ´estas alguna que sea m´as compacta en un sentido que expli-
caremos m´as adelante. A una estad´ıstica con esta propiedad se le llama

suficiente minimal.

Para precisar el concepto de minimalidad para una estad´ıstica suficiente
definiremos primero cu´ando una estad´ıstica es funci´on de otra. Recordemos
n
que x denota el punto muestral px ,...,x q.
1
n