Page 205 - EI2019.pdf

2.12 Suficiencia conjunta 197

Concluimos esta secci´on con algunas observaciones generales que no son
dif´ıciles de verificar.

‚ Si T es suficiente para θ ysi T es otra estad´ıstica, entonces pT ,T q
1
2
1
2
es suficiente para θ.
‚ Si T es suficiente para θ ysi T es suficiente para θ ,entonces pT ,T q
2
1
1
2
2
1
es suficiente para pθ , θ q.
2
1
‚ Si pT ,T q es suficiente para pθ , θ q,entonces no necesariamente T es
1
1
2
2
1
suficiente para θ ni T es suficiente para θ .Por ejemplo,secomprob´o
1
2
2
¯
2
2
que el vector pX, S q es suficiente para pµ, σ q en una distribuci´on
normal. Es inmediato verificar que el vector en el orden contrario
2 ¯
2
pS , Xq tambi´en es suficiente para pµ, σ q. La suficiencia coordenada
2
a coordenada dir´ıa que S es suficiente individualmente para µ yque
¯
2
X es suficiente para σ .Estasafirmaciones son falsas.
Ejemplos de estad´ısticas suficientes: dos par´ametros
Distribuci´on Par´ametros Estad´ıstica suficiente
unif pθ , θ q pθ , θ q T “pX p1q ,X pnq q
2
1
1
2
¯ 2
N pθ , θ q pθ , θ q T “pX, S q
2
2
1
1
n n
ź ÿ
gama pθ , θ q pθ , θ q T “p X , X q
i
1
i
1
2
2
i“1 i“1
Tabla 2.9
Ejercicios

225. Muestra completa. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una
1
n
distribuci´on dependiente de un par´ametro o vector de par´ametros des-