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196 2. Estimaci´ on puntual

pt ,t q de pT ,T q ydemostrar que la expresi´on
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fpx ,...,x ,t ,t q
n
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fpx ,...,x | t ,t q“
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n
fpt ,t q
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no depende de µ ni de σ .Sin embargo,encontrarla expresi´on anterior no
es sencillo. Utilizaremos entonces el teorema de factorizaci´on. Tenemos que
ˆ ˙ n{2 n
1 1 ÿ
n 2 2
Lpx , µ, σ q“ exp p´ px ´ µq q
i
2πσ 2 2σ 2
i“1
ˆ ˙ n{2 ˆ ˙ n{2 n n
1 1 1 ÿ ÿ
2
2
“ ¨ exp p´ p x ´ 2µ x ` nµ qq.
i
i
2π σ 2 2σ 2
i“1 i“1
n
El primer factor es la funci´on constante hpx q yelresto de la expresi´on
n
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n
corresponde a una funci´on gpT px q,T px q, µ, σ q. Por lo tanto, pT ,T q es
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suficiente para pµ, σ q. ‚
Cuando a un vector de estad´ısticas suficientes conjuntamente se le aplica
una funci´on biyectiva se obtiene otro vector que preserva la propiedad de ser
suficiente. Este resultado es an´alogo al caso unidimensional y se enuncia a
continuaci´on. Su demostraci´on es id´entica al caso estudiado antes y se deja
como ejercicio.
Proposici´on 2.9 Funciones biyectivas de estad´ısticas suficientes con-
juntas son tambi´en suficientes.
Ejemplo 2.45 En el ejemplo anterior se comprob´oque elvector de es-
n n 2
ř ř
tad´ısticas pT ,T q“p i“1 X , i“1 X q es suficiente para el vector de
i
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i
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par´ametros pµ, σ q en una distribuci´on normal. La transformaci´on
t 1 nt ´ t 2
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pt ,t q ÞÑp , q
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n npn ´ 1q
resulta ser una funci´on biyectiva sobre el espacio parametral Θ “ p´8, 8qˆ
p0, 8q.Despu´es de un c´alculo sencillo puede comprobarse que cuando esta
¯
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funci´on se aplica al vector pT ,T q se obtiene el vector pX, S q.Porlo tanto,
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este nuevo vector de estad´ısticas tambi´en es suficiente para pµ, σ q. ‚