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2.12 Suficiencia conjunta 195

general, T no es suficiente para θ.Dehecho, cualquiervectorquesepueda
formar con un subconjunto propio del conjunto de variables de la muestra

aleatoria no ser´a, en general, suficiente para θ.De la misma manera,el vec-
tor de las primeras k estad´ısticas de orden, con k ă n, no es, en general,
suficiente para θ.M´as generalmente, cualquier vector que se pueda formar
con cualesquiera k estad´ısticas de orden, no ser´a, en general, suficiente para
θ. ‚

El bastante ´util teorema de factorizaci´on de Jerzy Neyman puede extenderse
sin dificultad al caso de vectores de estad´ısticas. Aqu´ıtenemos el enunciado
n
haciendo uso de la notaci´on x “px ,...,x q yparael casode suficiencia
1
n
conjunta de dos par´ametros.

Teorema 2.5 (Teorema de factorizaci´on) Un vector de estad´ısticas
pT ,T q es suficiente para el par´ametro o vector de par´ametros θ si y s´olo
2
1
si
n
n
n
n
fpx , θq“ gpT px q,T px q, θq¨ hpx q,
1
2
en donde g y h son dos funciones no negativas que dependen ´unicamente
de los argumentos indicados.

Por brevedad en la escritura hemos considerado el caso bidimensional pT ,T q
1
2
pero, dejando de lado la longitud de las expresiones, no hay mayor dificultad
para enunciar y demostrar el resultado en el caso de vectores de estad´ısticas
pT ,...,T q.La demostraci´on es completamente an´aloga al caso unidimen-
1
k
sional presentada antes. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.44 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
2
2
Npµ, σ q,en donde µ y σ son ambos desconocidos. Definamos el vector
de estad´ısticas
n n
ÿ ÿ 2
pT ,T q“p X , X q.
i
1
2
i
i“1 i“1
2
Demostraremos que pT ,T q es suficiente para pµ, σ q. Si se quisiera usar la
1
2
definici´on de suficiencia conjunta, se tendr´ıa que considerar un posible valor