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194 2. Estimaci´ on puntual

vector de par´ametros, no necesariamente de la misma dimensi´on.

Partiremos nuevamente de una muestra aleatoria X ,...,X de una distri-
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buci´on fpx, θq dependiente de - par´ametros θ “pθ ,..., θ q.Las definiciones
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yresultadossonan´alogos al caso unidimensional, aunque pueden surgir aho-
ra nuevas situaciones para las coordenadas del vector de estad´ısticas y las
coordenadas del vector de par´ametros.

Definici´on 2.25 Se dice que las variables de un vector de estad´ısticas
T “pT ,...,T q son suficientes conjuntamente para el vector de
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par´ametros θ “pθ ,..., θ q si y s´olo si la distribuci´on de la muestra
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aleatoria X ,...,X condicionada al evento T “pt ,...,t q no depende
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de θ.
As´ı, por ejemplo, podemos tener las siguientes situaciones:

‚ pT ,T q es suficiente para pθ , θ q.
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‚ pT ,T q es suficiente para θ (unidimensional).
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Ejemplo 2.42 Cada variable de una muestra aleatoria X ,...,X puede
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considerarse como una estad´ıstica. En efecto, la variable X puede verse
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como la proyecci´on sobre la i-´esima coordenada de la muestra aleatoria,
esto es, T pX ,...,X q“ X .As´ı, podemos formar el vector de n estad´ısti-
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cas T “pX ,...,X q.Es intuitivamente claro,y sepuede comprobarsin
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mucha dificultad, que T es suficiente para cualquier par´ametro o vector de
par´ametros θ del cual dependa la distribuci´on en estudio. Tambi´en puede
demostrarse que el vector de estad´ısticas de orden T “pX p1q ,...,X pnq q es
siempre suficiente para θ.Enla secci´on de ejercicios se pide demostrar estas
afirmaciones. ‚

Ejemplo 2.43 Si no tomamos la totalidad de la muestra aleatoria y consi-
deramos que T “pX ,...,X q,en donde k ă n,puede comprobarse que,en
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