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192 2. Estimaci´ on puntual

216. Distribuci´on Bernoulli: reparametrizaci´on. Sea X una variable
aleatoria con distribuci´on Berpθq. La informaci´on de Fisher de X es,

para 0 ă θ ă 1,
1
Ipθq“ .
θp1 ´ θq

η
η
Considere la reparametrizaci´on θ “ ϕpηq“ e {p1 ` e q,en donde η es
un nuevo par´ametro. Demuestre que, respecto de η,la informaci´on de
Fisher de X es, para ´8 ă η ă 8,

Ipηq“ ϕpηqp1 ´ ϕpηqq.

217. Proceso de Poisson. Sea tX : t ě 0u un proceso de Poisson de
t
1
par´ametro θ ą 0 como se defini´oenlap´agina 126 Sean 0 ă t ă ¨¨¨ ă
t tiempos cualesquiera. Encuentre la informaci´on de Fisher del vector
n
aleatorio pX ,...,X q.
t 1 t n
218. Movimiento browniano. Sea tX : t ě 0u un movimiento browniano
t
de par´ametro θ ą 0como sedefini´o en la p´agina 127. Sean 0 ă t ă
1
¨¨¨ ă t tiempos cualesquiera. Encuentre la informaci´on de Fisher del
n
vector aleatorio pX ,...,X q.
t 1 t n

219. Varias distribuciones. Compruebe que la informaci´on de Fisher es
la indicada para cada una de las distribuciones de probabilidad que
aparecen en la tabla de la Figura 2.8.

220. Distinta distribuci´on, misma informaci´on de Fisher. Demues-
tre que las siguientes dos distribuciones tienen la misma informaci´on
de Fisher. Para θ ą 0,

#
θ x θ´1 si 0 ă x ă 1,
a) fpx, θq“
0 en otro caso.

θ
b) fpx, θq“ e ´θ|x| , ´8 ă x ă 8.
2

221. Calcule la informaci´on de Fisher de una variable aleatoria X con la
siguiente distribuci´on: para ´1 ă θ ă 1,