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2.11 Suficiencia e informaci´ on 191

‚ La informaci´on de Fisher de una variable aleatoria X con distribuci´on
Poissonpθq es I pθq“ 1{θ, para θ ą 0. Por lo tanto, la informaci´on
X
de Fisher de una muestra aleatoria X ,...,X de esta distribuci´on es
n
1
Ipθq“ nI pθq“ n{θ.Por otro lado, puede comprobarseque,como T
X
tiene distribuci´on Poissonpnθq, su informaci´on de Fisher respecto del
par´ametro θ es

B 2 n
Ipθq“ E rp ln fpT, nθqq s“ .
Bθ θ

Como esto coincide con la informaci´on de Fisher de la muestra alea-
toria, concluimos que T es suficiente.

‚
Para terminar esta secci´on se˜nalaremos que la informaci´on de Fisher puede

tambi´en definirse para distribuciones dependientes de dos o m´as par´ametros.
Esta extensi´on y otros resultados pueden consultarse, por ejemplo, en [23].

Ejercicios

214. Algunas propiedades de la informaci´on de Fisher. Sea X una
variable aleatoria con distribuci´on dependiente de un par´ametro θ.
Sean a y b dos constantes con a ‰ 0. Demuestre las siguientes propie-
dades.

a) I pθq ě 0.
X
b) I aX pθq“ I pθq.
X
c) I X`b pθq“ I pθq.
X
215. Reparametrizaci´on. Sea X una variable aleatoria con funci´on de
densidad o de probabilidad fpx, θq dependiente de un par´ametro θ y
con informaci´on de Fisher Ipθq.Suponga quesetieneunareparametri-
zaci´on θ “ ϕpηq,en donde ϕ es una funci´on biyectiva y diferenciable.
La funci´on fpx, θq ahora se escribe como fpx, ϕpηqq,en donde η es

el nuevo par´ametro. Demuestre que la informaci´on de Fisher de X
respecto del par´ametro η es
ˇ
1 2 ˇ .
Ipηq“pϕ pηqq ¨ Ipθq ˇ
θ“ϕpηq