Page 198 - EI2019.pdf

190 2. Estimaci´ on puntual

Esto demuestra la primera afirmaci´on. Veamos ahora el segundo resultado.
Por lo demostrado antes,

ż
B
n
n
n
n
2
I X 1 ,...,X n pθq“ I pθqô p ln fpx | Tpx qq fpx q dx “ 0
T
R n Bθ
B n n
ô ln fpx | Tpx qq “ 0
Bθ
B n n
Bθ fpx | Tpx qq
ô “ 0
n
n
fpx | Tpx qq
B n n
ô fpx | Tpx qq “ 0
Bθ
n
n
ô fpx | Tpx qq no depende de θ
ô T es suficiente para θ.
‚
As´ı, tenemos la siguiente interpretaci´on: una estad´ıstica es suficiente si, y
s´olo si, captura toda la informaci´on de Fisher de la muestra aleatoria para
estimar el par´ametro θ.

Por otro lado, este resultado tambi´en nos provee de un mecanismo alterna-
tivo para demostrar que una estad´ıstica es suficiente: su informaci´on debe
coincidir con la informaci´on de la muestra aleatoria. Veamos algunos ejem-
plos.

Ejemplo 2.41 Anteriormente comprobamos que la estad´ıstica T “ X `
1
¨¨¨` X es suficiente para el par´ametro θ en el caso particular de las distri-
n
buciones Berpθq yPoissonpθq.Se demostr´olo anterior dedosmaneras:una
mediante la definici´on de suficiencia y otra mediante el teorema de factori-
zaci´on. Comprobaremos por tercera ocasi´on esta afirmaci´on, ahora usando
la informaci´on de Fisher.

‚ Puede comprobarse que la informaci´on de Fisher de una variable

aleatoria X con distribuci´on Berpθq es I pθq“ 1{rθp1 ´ θqs,para
X
0 ă θ ă 1. Por lo tanto, la informaci´on de Fisher de una muestra alea-
toria X ,...,X de esta distribuci´on es Ipθq“ nI pθq“ n{rθp1´θqs.
n
1
X
Esta es exactamente la informaci´on de Fisher de la estad´ıstica T cuya
distribuci´on es binpn, θq.Por lotanto, T es suficiente.