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2.11 Suficiencia e informaci´ on 189

estad´ıstica obtenida de la misma muestra aleatoria. A partir de este resul-
tado, puede obtenerse una interpretaci´on del concepto de suficiencia de una

estad´ıstica.

Teorema 2.4 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribu-
n
1
ci´on dependiente de un par´ametro θ ysea T una estad´ıstica. Entonces

1. I X 1 ,...,X n pθq ě I pθq.
T
2. La igualdad se cumple ô T es suficiente para θ.

Demostraci´on. Tenemos que

2
B
I pθq“´Er ln fpX ,...,X qs
n
1
X 1 ,...,X n
Bθ 2
ż 2
B n n n
“´ r 2 ln fpx qs fpx q dx .
R n Bθ
n
Cuando la muestra aleatoria toma el valor x ,la estad´ıstica T toma el
n
n
valor Tpx q,demodo que el evento T “ Tpx q se cumple. A continuaci´on
a˜nadimos esta informaci´on redundante al c´alculo anterior y condicionamos
respecto a este evento,

ż 2
B n n n n
I X 1 ,...,X n pθq“´ r 2 ln fpx ,Tpx qs fpx q dx
R n Bθ
ż 2
B n n n n n
“´ r ln fpx | Tpx q f pTpx qqsfpx q dx
T
n Bθ 2
R
ż 2
B n n n n
“´ r 2 ln fpx | Tpx qqsfpx q dx
R n Bθ
ż 2
B n n n
´ r 2 ln f pTpx qqsfpx q dx
T
R n Bθ
“ I pθq` I X 1 ,...,X n|T pθq
T
ě I pθq.
T