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188 2. Estimaci´ on puntual

B
2
I pθq“ E rp ln fpX ,...,X ; θqq s
1
n
X 1 ,...,X n
Bθ
B 2
“ E rp ln f pX ; θq¨¨¨ f pX ; θqq s
n
n
1
1
Bθ
n
ÿ
B 2
“ E rp ln f pX ; θqq s
i
i
Bθ
i“1
n
ÿ
B 2
“ Erp ln f pX , θqq s
i
i
Bθ
i“1
ÿ B B
` Ep ln f pX , θqqEp ln f pX , θqq,
i
i
j
j
Bθ Bθ
i‰j
en donde sabemos que la variable aleatoria B ln f pX , θq tiene esperanza
Bθ i i
cero y, en consecuencia, la segunda suma desaparece. La primera suma es
igual a I pθq`¨ ¨ ¨ ` I pθq. ‚
n
1
En particular, cuando el vector aleatorio constituye una muestra aleatoria,
es decir, cuando se tiene la hip´otesis de independencia e id´entica distribuci´on
dependiente de un par´ametro θ, se obtiene la siguiente expresi´on para la
informaci´on de Fisher de una muestra aleatoria.
Corolario 2.1 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribu-
n
1
ci´on dependiente de un par´ametro θ yla cualsatisfacelas condiciones
de regularidad. Entonces
I X 1 ,...,X n pθq“ n ¨ I X 1 pθq.

Demostraci´on. Por la independencia y la id´entica distribuci´on,

I X 1 ,...,X n pθq“ I X 1 pθq`¨ ¨ ¨ ` I X n pθq

“ n ¨ I pθq.
X 1
‚

Para concluir esta secci´on, demostraremos una relaci´on entre la informaci´on
de Fisher de una muestra aleatoria y la informaci´on de Fisher de cualquier