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2.11 Suficiencia e informaci´ on 187

Proposici´on 2.7 Sea pX ,...,X q un vector aleatorio con funci´on de
1
n
densidad o de probabilidad fpx, θq, dependiente de un par´ametro θ.Bajo
las condiciones de regularidad,

B
1. E r ln f X 1 ,...,X n pX ,...,X , θqs “ 0.
n
1
Bθ
2
B
2. I pθq“´E r ln f pX ,...,X , θqs.
X 1 ,...,X n X 1 ,...,X n 1 n
Bθ 2

Bajo la hip´otesis de independencia de las variables de un vector y suponien-

do que cada una de las distribuciones individuales depende de un mismo
par´ametro θ,en donde estasdistribuciones individualesno sonnecesaria-
mente id´enticas, se obtiene el siguiente resultado.

Proposici´on 2.8 Sean X ,...,X variables aleatorias independientes,
1
n
con funci´on de densidad o de probabilidad f px; θq,...,f px; θq, y con
n
1
informaci´on de Fisher I pθq,...,I pθq,respectivamente. Bajo las condi-
1
n
ciones de regularidad para cada una de estas distribuciones,
I X 1 ,...,X n pθq“ I pθq`¨ ¨ ¨ ` I pθq.
n
1

Demostraci´on. El resultado es consecuencia directa de la hip´otesis de

independencia. Tenemos que