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186 2. Estimaci´ on puntual

Observemos entonces que, como consecuencia de la definici´on y el primer
inciso del resultado anterior, la informaci´on de Fisher se puede escribir de

la siguiente forma:
B
Ipθq“ Var r ln fpX, θqs.
Bθ
La definici´on de informaci´on de Fisher de una variable aleatoria, o de su
distribuci´on, se puede extender f´acilmente para el caso de vectores aleatorios,
y en particular para muestras aleatorias. Este es el contenido de la siguiente
definici´on y es completamente an´aloga al caso unidimensional.

Definici´on 2.24 Sea pX ,...,X q un vector aleatorio con funci´on de
n
1
densidad o de probabilidad fpx ,...,x , θq,dependiente de unpar´ame-
1
n
tro desconocido θ.La informaci´on de Fisher del vector pX ,...,X q,o
1
n
de su distribuci´on, es la funci´on
B 2
I pθq“ E rp ln fpX ,...,X , θqq s. (2.15)
1
n
X 1 ,...,X n
Bθ
La informaci´on de Fisher es una medida de la cantidad de informaci´on que
una observaci´on del vector aleatorio contiene acerca del par´ametro θ.Como
en el caso unidimensional, observe con cuidado la expresi´on fpX ,...,X , θq,
1
n
la cual es la funci´on de densidad del vector aleatorio evaluada en el vector
mismo. Supondremos que tal expresi´on es una variable aleatoria y que las
operaciones indicadas en (2.15) pueden efectuarse.

Los dos resultados relativos a la informaci´on de Fisher presentados en la
Proposici´on 2.6 pueden extenderse al caso de vectores aleatorios. Este es el
contenido del siguiente resultado el cual se demuestra de manera an´aloga al
caso unidimensional.