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2.11 Suficiencia e informaci´ on 185

Proposici´on 2.6 Sea X una variable aleatoria con funci´on de densi-
dad o de probabilidad fpx, θq dependiente de un par´ametro θ. Bajo las
hip´otesis de regularidad,

B
1. E r ln fpX, θqs “ 0.
Bθ
2
B
2. Ipθq“´E r ln fpX, θqs.
Bθ 2

Demostraci´on. Por simplicidad en la escritura supondremos el caso
continuo. La prueba es an´aloga en el caso discreto.

1. Suponiendo v´alido el intercambio de derivada e integral, tenemos que
ż
B B
E r ln fpX, θqs “ fpx, θq ln fpx, θq dx
Bθ R Bθ
ż
B
“ fpx, θq dx
Bθ
R
ż
d
“ fpx, θq dx
dθ R
“ 0.

2. Por el primer resultado, derivando por segunda vez respecto de θ,
tenemos que

B B
0 “ E r ln fpX, θqs
Bθ Bθ
ż „ 
B B
“ ln fpx, θq fpx, θq dx
Bθ R Bθ
ż „ 2 
B B B ln fpx,θq
“ p 2 ln fpx, θqq fpx, θq`p ln fpx, θqqp e q dx
R Bθ Bθ Bθ
ż „ 2 
B B 2
“ p 2 ln fpx, θqq fpx, θq`p ln fpx, θqq fpx, θq dx
R Bθ Bθ
2
B
“ Er ln fpX, θqs ` I pθq.
X
Bθ 2
‚