Page 191 - EI2019.pdf

2.11 Suficiencia e informaci´ on 183

Ejemplo 2.39 La informaci´on de Fisher de una variable aleatoria X con
distribuci´on Berpθq es, para 0 ă θ ă 1,

B X 1´X 2
Ipθq“ Erp ln θ p1 ´ θq q s
Bθ
B 2
“ Erp rX ln θ `p1 ´ Xq ln p1 ´ θqsq s
Bθ
2
“ ErpX{θ ´p1 ´ Xq{p1 ´ θqq s
1
“ .
θp1 ´ θq

‚

Ejemplo 2.40 La informaci´on de Fisher de una variable aleatoria X con

distribuci´on exppθq es, para θ ą 0,

B ´θX 2
Ipθq“ Erp ln θ e q s
Bθ
B 2
“ Erp rln θ ´ θ Xsq s
Bθ
2
“ Erp1{θ ´ Xq s
“ VarpXq
1
“ .
θ 2

‚

Como ejemplos adicionales, en la Tabla 2.8 se muestran las expresiones de
la informaci´on de Fisher para algunas otras distribuciones de probabilidad.
Esta tabla es equivalente a la tabla sobre la cota inferior de Cram´er-Rao
de la Figura 2.6 en la p´agina 163. El par´ametro se denota por la letra θ,

suponiendo que cualquier otro posible par´ametro que aparezca en la distri-
buci´on es conocido. Como siempre, se reserva la letra n para el tama˜no de
la muestra. Se ha dejado comprobar los resultados mostrados en la tabla en
la secci´on de ejercicios.