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182 2. Estimaci´ on puntual

Definici´on 2.23 Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad
oprobabilidad fpx, θq,dependiente deunpar´ametro θ.La informaci´on
de Fisher de X,odesu distribuci´on, es la funci´on

B 2
Ipθq“ E rp ln fpX, θqq s. (2.14)
Bθ

Notemos que la informaci´on de Fisher es una funci´on del par´ametro θ y
tiene como dominio de definici´on el correspondiente espacio parametral.
Observemos adem´as con cuidado la expresi´on fpX, θq que aparece en el
enunciado: la funci´on de densidad fpx, θq es evaluada en la variable aleatoria
X,es decir, se trata de una composici´on de funciones. Supondremos que este

t´ermino es nuevamente una variable aleatoria y que la funci´on ln fpX, θq
es diferenciable respecto de θ. La expresi´on que define a la informaci´on
de Fisher es un t´ermino que hab´ıa aparecido antes como parte de la cota
inferior de Cram´er-Rao, la cual podemos ahora reescribir como sigue: para
cualquier estimador insesgado T para la funci´on parametral τpθq, y bajo las

hip´otesis de regularidad,

1 2
pτ pθqq
VarpTq ě .
n ¨ Ipθq

Cuando sea necesario especificar la variable aleatoria en cuesti´on escribire-
mos I pθq yla funci´on de densidad o de probabilidad ser´a f px, θq.Por
X
X
convenci´on, el logaritmo indicado es el logaritmo natural.

La informaci´on de Fisher es una medida de la cantidad de informaci´on
que una observaci´on de la variable aleatoria contiene acerca del par´ametro

desconocido θ.Veremosacontinuaci´on algunos ejemplos del c´alculo de esta
cantidad.