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180 2. Estimaci´ on puntual

206. Distribuci´on exponencial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on fpx; θq especificada abajo, en donde θ es un par´ametro
desconocido. Demuestre que la primera estad´ıstica de orden X es
p1q
suficiente para θ.

#
e ´px´θq si x ą θ,
fpxq“
0 en otro caso.

207. Distribuci´on Rayleigh. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on Rayleigh especificada abajo, en donde θ ą 0esun
2
par´ametro desconocido. Demuestre que la estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨ `
1
2
X es suficiente para θ.
n
# 2
2px{θqe ´x {θ si x ą 0,
fpx, θq“
0 en otro caso.

208. Una familia de distribuciones. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de una distribuci´on continua con funci´on de densidad
#
apθq bpxq si 0 ă x ă θ,
fpx, θq“
0 en otro caso,

en donde apθq y bpxq son dos funciones no negativas dependientes
´ unicamente de los par´ametros indicados con θ ą 0desconocido.Por
ejemplo, cuando apθq“ 1{θ y bpxq“ 1 se obtiene la distribuci´on
unifp0, θq.Demuestrequela siguienteestad´ıstica es siempre suficiente
para θ.

T “ m´ax tX ,...,X u.
n
1
209. Distribuci´on normal. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
1
n
distribuci´on Npµ, θq,en donde µ es conocido y θ ą 0esdesconocido.
ˆ
Sea θ el estimador para θ por el m´etodo de m´axima verosimilitud.

ˆ
a)Encuentre θ.
ˆ
b)Demuestre que θ es una estad´ıstica suficiente.