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2.10 Suficiencia 179

b) aT.

T
c) e .

201. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on especificada
n
1
abajo, en donde θ es un par´ametro desconocido. Suponga que cualquier
otro par´ametro que pudiera aparecer en la distribuci´on es conocido.

Demuestre directamente de la definici´on que la estad´ıstica T “ X `
1
¨¨¨ ` X es suficiente.
n

2
a)binpk, θq. c)Npθ, σ q.
b)geopθq. d) gamapγ, θq.

202. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on unifp0, θq,con θ ą 0desconocido. Demuestre que la
siguiente estad´ıstica es suficiente para θ.

T “ X pnq .

203. Distribuci´on uniforme. Sea X una muestra aleatoria de tama˜no
1
n “ 1de ladistribuci´on unifp´θ, θq, con θ ą 0desconocido. Demuestre
que la siguiente estad´ıstica es suficiente para θ.

T “|X |.
1

204. Distribuci´on exponencial: no suficiencia. Sea X una muestra
1
aleatoria de tama˜no n “ 1de ladistribuci´on exppθq,en donde θ ą 0
es desconocido. Demuestre que la siguiente estad´ıstica no es suficiente
para θ.
T “ 1 .
pX 1 ą2q

205. Distribuci´on exponencial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria
n
1
de la distribuci´on exppθq,en donde θ ą 0es desconocido.Demuestre
que la siguiente estad´ıstica es suficiente para θ.

T “ X `¨ ¨ ¨ ` X .
1
n