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2.10 Suficiencia 177

Para concluir esta secci´on enunciamos un resultado que da respuesta a la
siguiente pregunta: si T una estad´ıstica suficiente para θ,¿es T suficiente

para cualquier funci´on parametral τpθq?La respuesta esafirmativa yaqu´ı
tenemos el enunciado.

Proposici´on 2.5 Toda estad´ıstica suficiente para un par´ametro θ es

tambi´en suficiente para cualquier funci´on parametral τpθq.

Demostraci´on. Usaremos la definici´on. Sea T una estad´ıstica suficiente
para θ.Entonces ladistribuci´on conjunta de la muestra aleatoria condicio-
nada al evento pT “ tq no depende de θ, por lo tanto tampoco depende de
τpθq. ‚

Esto nos provee de un cuarto posible m´etodo para demostrar la propiedad

de suficiencia: en el caso cuando se desee probar suficiencia de una estad´ısti-
ca para una funci´on parametral, verificar si la estad´ıstica es suficiente para
el par´ametro en cuesti´on. Como referencia, v´ease la secci´on 2.14, en donde
se muestra un resumen de algunos m´etodos para probar la suficiencia de
una estad´ıstica.

M´as adelante estudiaremos el concepto de suficiencia de un vector de es-
tad´ısticas para uno o varios par´ametros. A tal situaci´on le llamaremos sufi-
ciencia conjunta del vector de estad´ısticas. La definici´on y los resultados son
completamente an´alogos. En la siguiente secci´on estudiaremos la informa-

ci´on de Fisher. A trav´es de este concepto se le puede dar una interpretaci´on
ala suficiencia.

Como un ejemplo general de estad´ıstica suficiente, en la secci´on 2.19 al final
del presente cap´ıtulo, se presenta una familia amplia de distribuciones de
probabilidad llamada familia exponencial. Para cada distribuci´on dentro de
esta familia es posible dar la expresi´on expl´ıcita de una estad´ıstica suficiente.