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2.10 Suficiencia 175

Por simplicidad en la escritura hemos omitido los factores 1 t0,1u px q,
i
n
para i “ 1,...,n, los cuales deben incorporarse a la funci´on hpx q.

‚ La estad´ıstica T tambi´en es suficiente para el par´ametro desconocido
θ de la distribuci´on Poisson pues

θ x 1 θ x n
n
n
PpX “ x q“ e ´θ ¨¨¨ e ´θ
x ! x !
1
n
1
“r e ´nθ θ x 1 `¨¨¨`x n s¨r s
x ! ¨¨¨ x !
1
n
n
n
“ gpTpx q, θq¨ hpx q.
Nuevamente hemos omitido los factores 1 t0,1,...u px q,para i “ 1,...,n,
i
n
los cuales deben incorporarse a la funci´on hpx q.
‚
Algunos otros ejemplos de estad´ısticas suficientes aparecen en la secci´on
de ejercicios. Observemos que para demostrar que una estad´ıstica no es
suficiente parece ser m´as conveniente usar directamente la Definici´on 2.22
como lo hemos hecho en el Ejemplo 2.36. Para ello se deben encontrar va-
lores particulares x ,...,x de la muestra aleatoria y un valor particular t
1
n
de la estad´ıstica T,yverificar quela funci´on fpx ,...,x | T “ tq depende
1
n
del par´ametro θ aestimar.

En lo que resta de esta secci´on estudiaremos algunos resultados relativos al
concepto de suficiencia. Por ejemplo, uno puede plantearse la siguiente pre-
gunta: ¿Es la transformaci´on de una estad´ıstica suficiente tambi´en suficiente
para el mismo par´ametro? Demostraremos a continuaci´on que para que tal
propiedad se cumpla, la condici´on de biyectividad para la transformaci´on
es suficiente.

Proposici´on 2.4 Funciones biyectivas de estad´ısticas suficientes son
suficientes.

Demostraci´on. Usaremos el teorema de factorizaci´on. Sea T una estad´ısti-
ca suficiente para un par´ametro θ ysea ϕ una funci´on biyectiva definida