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176 2. Estimaci´ on puntual

sobre el conjunto de valores de T y con valores reales. Entonces la fun-

ci´on inversa de ϕ existe y podemos escribir T “ ϕ ´1 ˝pϕ ˝ Tq.Como T es
suficiente, por el teorema de factorizaci´on tenemos que

n n n
fpx , θq“ gpTpx q, θq¨ hpx q
n
n
“ gpϕ ´1 ˝pϕ ˝ Tqpx q, θq¨ hpx q
n
n
“ Gppϕ ˝ Tqpx q, θq¨ hpx q,
en donde G “ g ˝ ϕ ´1 es no negativa pues g es no negativa. Por lo tanto, la
composici´on ϕ ˝ T tambi´en es suficiente para θ. ‚

El resultado anterior tambi´en puede demostrarse directamente usando la
definici´on de suficiencia y se deja como ejercicio para el lector.

Por otro lado, observemos que el enunciado y la demostraci´on de la propo-
sici´on anterior incluye el caso cuando T es un vector de estad´ısticas. Para
ello, la funci´on biyectiva debe estar bien definida sobre alguna regi´on de
k
R ,porejemplo,aquella regi´on en donde el vector de estad´ısticas toma sus
valores.

Veamos ahora algunos ejemplos sencillos del uso del resultado reci´en demos-
trado.

Ejemplo 2.38 Sabemos que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨` X es suficiente
1
n
para el par´ametro θ de la distribuci´on Poisson. Tenemos entonces que:
T
‚ La estad´ıstica e es tambi´en suficiente para θ pues la funci´on ϕpxq“
x
e es biyectiva.
2
‚ La estad´ıstica T es tambi´en suficiente para θ pues la funci´on ϕpxq“
2
x es biyectiva sobre el intervalo p0, 8q.

‚

El resultado y el ejemplo anteriores sugieren un tercer mecanismo para
comprobar la suficiencia de una estad´ıstica: verificar que la estad´ıstica en
cuesti´on es una funci´on biyectiva de otra estad´ıstica que sabemos que es
suficiente.