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174 2. Estimaci´ on puntual

Tpx ,...,x q.Ahoraconsideremos la imagen inversa delvalor t bajo
1
n
la funci´on T,es decir,
n
n
T ´1 ttu“t y : Tpy q“ t u.
n
Por construcci´on, x P T ´1 ttu.Entonces
n n
PpX “ x ,T “ tq
PpX “ x ,...,X “ x | T “ tq“
n
n
1
1
PpT “ tq
n n
PpX “ x q
“
n
PpX P T ´1 ttuq
n n
PpX “ x q
“ ř n n
n
y PT ´1 ttu PpX “ y q
n n
gpTpx q, θq hpx q
“ ř n n
n
y PT ´1 ttu gpTpy q, θq hpy q
n
gpt, θq hpx q
“ ř
n
gpt, θq n ´1 hpy q
y PT ttu
n
hpx q
“ ř n .
n
y PT ´1 ttu hpy q
Como esta probabilidad no depende de θ,concluimos que T es sufi-
ciente.
‚

Como una muestra de la forma en la que se aplica el teorema anterior,
repetiremos los resultados de los Ejemplos 2.34 y 2.35, pero ahora usando
el teorema de factorizaci´on.

Ejemplo 2.37 Sea T “ X `¨ ¨ ¨ ` X .
1
n
‚ La estad´ıstica T es suficiente para el par´ametro desconocido θ en la
n
distribuci´on Bernoulli pues para cualquier valor x “px ,...,x q de
n
1
la muestra aleatoria,
n n x 1 1´x 1 x n 1´x n
PpX “ x q“ θ p1 ´ θq ¨¨¨ θ p1 ´ θq
“r θ x 1 `¨¨¨`x n p1 ´ θq n´px 1 `¨¨¨`x nq s¨r 1 s
n
n
“ gpTpx q, θq¨ hpx q.