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2.10 Suficiencia 173

Recordemos nuevamente que X ,...,X es una muestra aleatoria de una
1
n
distribuci´on con funci´on de densidad o de probabilidad fpx, θq,dependiente
n
de un par´ametro desconocido θ. Y que, por brevedad, escribiremos x en
lugar de px ,...,x q para un valor particular de una muestra aleatoria.
1
n

Teorema 2.3 (Teorema de factorizaci´on de J. Neyman) Una
estad´ıstica T es suficiente para θ si y s´olo si la funci´on de densidad
conjunta de la muestra aleatoria se puede factorizar de la siguiente forma

n
n
n
fpx , θq“ gpTpx q, θq¨ hpx q, (2.13)
en donde g es una funci´on no negativa que depende de los valores de la
muestra aleatoria ´unicamente a trav´es de la estad´ıstica T,y h es una
n
funci´on no negativa que depende ´unicamente del valor x “px ,...,x q
1
n
de la muestra aleatoria.

Demostraci´on.

n
pñq Supongamos que T es una estad´ıstica suficiente y sea x “px ,...,x q
1
n
cualquier valor de la muestra aleatoria. Entonces la estad´ıstica T to-
n
n
ma el valor Tpx q.Ala distribuci´on conjunta de la muestra fpx q le
n
a˜nadimos la informaci´on redundante T “ Tpx q ycondicionamosde
la siguiente forma
n n n
fpx q“ fpx ,Tpx qq
n n n
“ fpTpx qq ¨ fpx | Tpx qq

n
El primer factor es una funci´on gpTpx q, θq que depende del par´ametro
n
θ ydelpunto muestral x ´unicamente a trav´es del valor de la estad´ısti-
n
ca T.El segundo factor es una funci´on hpx q que depende ´unicamente
del valor de la muestra aleatoria, pues T es suficiente. De esta forma
hemos construido la expresi´on del lado derecho de la igualdad (2.13).

pðq Suponga que se cumple la factorizaci´on (2.13). Demostraremos que T
es suficiente. Por simplicidad en la escritura consideraremos el caso
discreto. Sea x n “px ,...,x q cualquier valor de la muestra alea-
n
1
toria. A partir de este valor definimos el valor de la estad´ıstica t “