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172 2. Estimaci´ on puntual

Esta probabilidad no depende de θ y, por lo tanto, T es suficiente para θ. ‚

Ahora veremos un ejemplo en donde no se cumple la propiedad de suficien-
cia.

Ejemplo 2.36 Sea X ,X ,X una muestra aleatoria de tama˜no n “ 3de
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la distribuci´on Berpθq,con θ desconocido. Comprobaremos que la estad´ıstica
T “ X ` 2X ` 3X no es suficiente para θ.Para ello essuficiente dar un
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valor de la muestra aleatoria y un valor de la estad´ıstica para los cuales
no se cumpla la condici´on de suficiencia. Tomemos px ,x ,x q“p1, 1, 0q y
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t “ 3. Entonces
PpX “ 1,X “ 1,X “ 0,T “ 3q
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PpX “ 1,X “ 1,X “ 0 | T “ 3q“
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PpT “ 3q
PpX “ 1,X “ 1,X “ 0q
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“
PpT “ 3q
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θ p1 ´ θq
“
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2
θ p1 ´ θq`p1 ´ θq θ
“ θ.
Claramente esta probabilidad depende del par´ametro θ y, por lo tanto, T no
es suficiente para θ. En conclusi´on, la estad´ıstica X `X `X es suficiente
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para θ pero X ` 2X ` 3X no lo es. ‚
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Apesardelo f´acil que resultaron los c´alculos en los ejemplos anteriores, en
realidad no es sencillo comprobar la suficiencia de una estad´ıstica cualquiera
usando la definici´on. Observe que en estos ejemplos fue necesario conocer
la distribuci´on de la estad´ıstica T yenloscasos mostrados tal distribuci´on
fue evidente de encontrar. Esto no siempre es as´ı y los c´alculos pueden ser
sumamente complicados con casi cualquier otro caso que se considere.

Afortunadamente se cuenta con el siguiente resultado bastante ´util, que

establece una condici´on equivalente para la suficiencia. Esta condici´on es
relativamente f´acil de verificar y la usaremos con mayor frecuencia que la
definici´on misma de suficiencia. Ser´aun segundo mecanismoparacompro-
bar la suficiencia de una estad´ıstica.