Page 179 - EI2019.pdf

2.10 Suficiencia 171

n n
n n PpX “ x ,T “ tq
PpX “ x | T “ tq“
PpT “ tq
n n
PpX “ x q
“ ¨ 1 px `¨ ¨ ¨ ` x q
1
n
ttu
PpT “ tq
x 1 1´x 1 x n 1´x n
θ p1 ´ θq ¨¨¨ θ p1 ´ θq
“ ` ˘ ¨ 1 pn¯xq
n t n´t ttu
t θ p1 ´ θq
θ x 1 `¨¨¨`x n p1 ´ θq n´px 1 `¨¨¨`x nq
“ ` ˘ ¨ 1 pn¯xq
n t n´t ttu
t θ p1 ´ θq
1
“ ` ˘ ¨ 1 pn¯xq.
n ttu
t
Como esta probabilidad no depende de θ,concluimosque T es suficiente

para θ de acuerdo a la definici´on anterior. Observe que la condici´on pT “ tq
hace que los posibles valores de la muestra aleatoria se reduzcan a aquellos
que cumplen la condici´on x `¨ ¨ ¨ ` x “ t.
1
n
‚

Ejemplo 2.35 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
Poisson con par´ametro θ ą 0desconocido.Comprobaremos que la estad´ısti-
ca T “ X `¨ ¨ ¨ ` X es suficiente para θ.Observemosque T tiene dis-
1
n
tribuci´on Poissonpnθq yque nonecesariamentees unestimadorpara θ.
Sea t Pt0, 1,...u es uno de los posibles valores de T.Para cualquier valor
n
x “px ,...,x q de la muestra aleatoria, tenemos que
n
1
n n
n n PpX “ x ,T “ tq
PpX “ x | T “ tq“
PpT “ tq
n n
PpX “ x q
“ ¨ 1 ttu px `¨ ¨ ¨ ` x q
1
n
PpT “ tq
θ {x !s¨¨¨re
re ´θ x 1 1 ´θ x n n
θ {x !s
“ ¨ 1 ttu px `¨ ¨ ¨ ` x q
1
n
t
e ´nθ pnθq {t!
e ´nθ t 1 n
θ {px ! ¨¨¨ x !q
“ ¨ 1 ttu px `¨ ¨ ¨ ` x q
1
n
t
e ´nθ pnθq {t!
t!
“ ¨ 1 ttu px `¨ ¨ ¨ ` x q.
1
n
t
n x ! ¨¨¨ x !
1
n