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170 2. Estimaci´ on puntual

Definici´on 2.22 Una estad´ıstica T es suficiente para un par´ametro θ
si la distribuci´on conjunta de la muestra aleatoria X ,...,X condicio-
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nada al evento pT “ tq no depende del par´ametro θ,cualquieraque sea
el posible valor t de la estad´ıstica.

Observe que la colecci´on de eventos pT “ tq,un evento paracadavalor t de la
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estad´ıstica, induce una partici´on en el conjunto de valores x “px ,...,x q
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de la muestra aleatoria, esto es, pT “ tq“tx : Tpx q“ tu. Consideremos
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ahora la funci´on x ÞÑ fpx | T “ tq.Esclaro queestafunci´on se anula fuera
del subconjunto pT “ tq ysecumple la condici´on de suficiencia si dentro de
este subconjunto la funci´on no depende de θ.
M´as adelante comprobaremos que la suficiencia se puede interpretar de la
siguiente manera: dado un valor t de la estad´ıstica T,la muestraaleatoria
no contiene informaci´on adicional sobre el par´ametro θ que aquella propor-

cionada por la estad´ıstica T.

Veremos a continuaci´on algunos ejemplos de la forma en la que puede veri-
ficarse la propiedad de suficiencia de una estad´ıstica mediante la definici´on
anterior. Posteriormente veremos otras maneras equivalentes de verificar
esta propiedad.

Ejemplo 2.34 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
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Bernoulli de par´ametro desconocido θ.Comprobaremos que la estad´ısti-
ca T “ X `¨ ¨ ¨`X es suficiente para θ.Notemosque T tiene distribuci´on
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binpn, θq yque T no necesariamente es un estimador para θ.Observe que
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si la muestra aleatoria toma el valor x “px ,...,x q,entoncesforzosa-
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mente la estad´ıstica T toma el valor Tpx q“ x `¨ ¨ ¨` x .Por brevedad
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escribiremos a la muestra aleatoria como el vector X “pX ,...,X q. En-
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tonces, sea t Pt0, 1,...,nu cualquier posible valor de la estad´ıstica T ysea
x ,...,x Pt0, 1u cualquier valor de la muestra aleatoria. Tenemos que
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