Page 176 - EI2019.pdf

168 2. Estimaci´ on puntual

Ejemplo 2.33 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
Berpθq, con θ desconocido. Sabemos que la cota inferior de Cram´er-Rao para

la varianza de cualquier estimador insesgado para θ es, para 0 ă θ ă 1,

θp1 ´ θq
CICRpθq“ .
n
¯
ˆ
‚ Estimador eficiente. El estimador insesgado θ “ X es eficiente pues
ˆ
Varpθq“ θp1 ´ θq{n “ CICRpθq.

Este es un ejemplo de la situaci´on (a) de la Figura 2.10.

‚ Estimador no eficiente pero asint´oticamente eficiente. Consi-
ˆ
deremos el estimador insesgado θ “pX `¨ ¨ ¨ ` X n´1 q{pn ´ 1q,es
n
1
decir, s´olo se toma el promedio de las primeras n ´ 1variablesde la
ˆ
muestra aleatoria. Es claro que θ es insesgado y su varianza es
n
ˆ θp1 ´ θq
Varpθ q“ .
n
n ´ 1
Su eficiencia es
ˆ n ´ 1
Efipθ q“ ă 1.
n
n
Se trata entonces de un estimador que no es eficiente, pero claramente
es asint´oticamente eficiente. Este es un ejemplo de la situaci´on (b) de
la Figura 2.10.

‚ Estimador no eficiente ni asint´oticamente eficiente. Conside-
remos ahora el estimador insesgado

2
ˆ
θ “ pX ` 2X `¨ ¨ ¨ ` nX q.
1
2
n
n
npn ` 1q
Su varianza puede encontrarse como sigue
« ff
n
4 ÿ
ˆ 2
Varpθ q“ k θp1 ´ θq
n
2
n pn ` 1q 2
k“1
2p2n ` 1q θp1 ´ θq
“ .
3pn ` 1q n