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166 2. Estimaci´ on puntual

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Definici´on 2.18 Sean θ 1 y θ 2 dos estimadores insesgados para un
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par´ametro θ.Sediceque θ es relativamente m´as eficiente que θ si
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Varpθ q ď Varpθ q. (2.11)
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De esta manera, de entre dos estimadores insesgados para un mismo par´ame-
tro, preferiremos aquel que tenga varianza menor, si es que tal comparaci´on

puede llevarse a cabo. Recordemos que la varianza de un estimador es una
funci´on del par´ametro y la desigualdad (2.11) pudiera no cumplirse para
todo valor del par´ametro dentro del espacio parametral. En consecuencia,
no cualesquiera dos estimadores insesgados pueden compararse uno con el
otro de la forma indicada en la definici´on anterior.

Ejemplo 2.32 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
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Berpθq, con θ desconocido. Es claro que los estimadores θ “ X y θ “ X 1
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son insesgados para θ.Sin embargo,el estimador θ es relativamente m´as
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eficiente que θ pues, para cualquier valor de θ en p0, 1q,secumple
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ˆ θp1 ´ θq ˆ
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Varpθ q“ ď θp1 ´ θq“ Varpθ q.
n
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Por otro lado, en ocasiones hay estimadores insesgados con la m´ınima va-
rianza posible dada por la cota inferior de Cram´er-Rao. Los llamaremos
estimadores eficientes. Estos son casos particulares de los estimadores que
hemos denominado como UMVUEs, aquellos que alcanzan la CICR.

Definici´on 2.19 Se dice que un estimador insesgado es eficiente cuan-

do su varianza alcanza la cota inferior de Cram´er-Rao.

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Es decir, el estimador insesgado θ es eficiente si Varpθq“ CICRpθq para todo
valor de θ en el espacio parametral Θ.Teniendo como elementodecompa-
raci´on la cota inferior de Cram´er-Rao podemos ahora definir la eficiencia de
un estimador insesgado de la siguiente manera.