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2.9 Eficiencia 165

ˆ
a) θ “ X .
1
ˆ
¯
b) θ “ X.
193. Distribuci´on normal: media. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
2
2
toria de la distribuci´on Npθ, σ q, con θ desconocido y σ conocida.
Demuestre que
σ 2
CICRpθq“ . (funci´on constante)
n

194. Distribuci´on normal: varianza. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on Np0, θq, con θ ą 0desconocido. Demuestre
que
2
2
CICRpθq“ θ , θ ą 0.
n
ˆ
2
2
Demuestre que el estimador θ “pX `¨ ¨ ¨ ` X q{n es insesgado y que
1 n
su varianza coincide con la cota inferior de Cram´er-Rao, es decir,
ˆ
CICRpθq“ Varpθq, θ ą 0.
ˆ
Por lo tanto, θ es un UMVUE para θ.

195. Distribuci´on normal: varianza. Sea X ,...,X una muestra alea-
1
n
2
toria de la distribuci´on Npµ, σ q, con ambos par´ametros desconocidos.
2
Suponga n ě 2. Recordemos que la varianza muestral S es un esti-
2
mador insesgado para σ .
n
1 ÿ
2 ¯ 2
S “ pX ´ Xq .
i
n ´ 1
i“1
Demuestre que
2 2
2 4 4 2
CICRpσ q“ σ ă σ “ VarpS q.
n n ´ 1

2.9. Eficiencia

En esta secci´on veremos varias definiciones relacionadas con la varianza de
un estimador insesgado. Primero veamos una posible manera de comparar
dos estimadores insesgados.