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164 2. Estimaci´ on puntual

estimador insesgado para θ que alcance la CICR? Veremos m´as adelante
que la respuesta es negativa.

Ejercicios

189. Distribuci´on binomial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
1
n
distribuci´on binpk, θq, con 0 ă θ ă 1desconocido.Supongaque k ě 1
es un entero conocido. Demuestre que

θp1 ´ θq
CICRpθq“ , 0 ă θ ă 1.
nk
ˆ
¯
Demuestre que el estimador θ “ X{k es insesgado y que su varianza
coincide con la cota inferior de Cram´er-Rao, es decir,

ˆ
CICRpθq“ Varpθq, 0 ă θ ă 1.
¯
Por lo tanto, el estimador X{k es el UMVUE para θ,cuando k es
conocido.

190. Distribuci´on geom´etrica. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
n
1
la distribuci´on geopθq, con θ desconocido. Demuestre que
2
θ p1 ´ θq
CICRpθq“ , 0 ă θ ă 1.
n

191. Distribuci´on binomial negativa. Sea X ,...,X una muestra alea-
1
n
toria de la distribuci´on bin negpr, θq, con θ desconocido. Suponga que
r ě 1es un enteroconocido. Demuestre que

2
θ p1 ´ θq
CICRpθq“ , 0 ă θ ă 1.
nr

192. Distribuci´on Poisson. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on Poissonpθq, con θ desconocido. Demuestre que
θ
CICRpθq“ , θ ą 0.
n
Calcule la varianza de los siguientes estimadores insesgados y com-
pruebe el cumplimiento de la cota inferior de Cram´er-Rao.