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162 2. Estimaci´ on puntual

Las expresiones que aparecen en (2.10) se pueden obtener con facilidad usan-
do la distribuci´on gama. De esta manera, se comprueba que la varianza del
ˆ
estimador insesgado θ es, efectivamente, mayor o igual que la cota inferior
de Cram´er-Rao, es decir, para n ě 3,

1 1
ˆ
2
2
CICRpθq“ θ ď θ “ Varpθq.
n n ´ 2
‚
Teniendo ahora una mayor familiaridad con la cota inferior de Cram´er-Rao,
vamos a establecer las hip´otesis bajo las cuales dicho resultado es v´alido.
Aesteconjunto dehip´otesis se le conoce con el nombre de condiciones de
regularidad.

Condiciones de regularidad

Las siguientes hip´otesis son necesarias para la validez de la cota inferior de
Cram´er-Rao.

‚ El soporte de fpx, θq dado por el conjunto tx : fpx, θq ą 0u no depende

de θ.

‚ Para todo x en el soporte de fpx, θq, la siguiente derivada existe

B
ln fpx, θq.
Bθ

‚ Es v´alido el siguiente intercambio de derivada e integral.

ż ż
d B
0 “ fpx, θq dx “ fpx, θq dx.
dθ R R Bθ

B 2
‚ 0 ă E rp ln fpX, θqq s ă 8.
Bθ
‚ Es v´alido el intercambio de derivada e integral que aparece abajo. Esto
se usa en la identidad (2.8) de la demostraci´on. Por brevedad, hacemos
n
uso de la notaci´on x “px ,...,x q.
n
1
ż ż
d n n n n B n n
Tpx q fpx , θq dx “ Tpx q fpx , θq dx .
dθ R n R n Bθ