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160 2. Estimaci´ on puntual

θp1 ´ θq{n

CICRpθq

θ
1

Figura 2.8

Ejemplo 2.31 Sea X una variable aleatoria con distribuci´on exponencial
de par´ametro θ ą 0desconocido.

#
θ e ´θx si x ą 0,
fpx, θq“
0 en otro caso.

ˆ
Sea θ cualquier estimador insesgado para θ,definidoa trav´es de una muestra
aleatoria de esta distribuci´on. Encontraremos la cota inferior de Cram´er-
ˆ
Rao para la varianza de θ.La funci´on parametral es τpθq“ θ y por lo tanto
τ pθq“ 1. Evaluando la funci´on de probabilidad fpx, θq en la variable alea-
1
toria X y llevando a cabo las operaciones indicadas, es inmediato comprobar
que

B 1
ln fpX, θq“ ´ X.
Bθ θ
Nuevamente esta es una variable aleatoria que tiene esperanza cero. Esto lo

hemos demostrado antes de manera general. Por lo tanto,

B 2 2 1
Erp ln fpX, θqq s“ E p1{θ ´ Xq “ VarpXq“ .
Bθ θ 2

Substituyendo esta expresi´on en la f´ormula (2.6) se obtiene que la cota
inferior de Cram´er-Rao es

θ 2
CICRpθq“ , θ ą 0.
n