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2.8 Cota inferior de Cram´ er-Rao 159

ypor lo tanto τ pθq“ 1. Evaluando la funci´on de probabilidad fpx, θq en
1
la variable aleatoria X y haciendo las operaciones indicadas, es inmediato

comprobar que
B X 1 ´ X
ln fpX, θq“ ´ .
Bθ θ 1 ´ θ
Observemos que esta es una variable aleatoria y que tiene esperanza cero.
Esto sirve de ejemplo de lo que hemos demostrado antes de manera general.
El segundo momento de esta variable aleatoria es

ˆ ˙ 2
B 2 X 1 ´ X
Erp ln fpX, θqq s“ E ´
Bθ θ 1 ´ θ
1
“ .
θp1 ´ θq

Substituyendo esta expresi´on en la f´ormula (2.6) se obtiene que la cota
inferior de Cram´er-Rao es

θp1 ´ θq
CICRpθq“ , 0 ă θ ă 1.
n
En consecuencia, todo estimador insesgado para θ yconstruidoapartirde

una muestra aleatoria de tama˜no n de la distribuci´on Bernoulli tiene va-
rianza por lo menos esta cantidad. Vista como funci´on de θ,lagr´afica de la
cota inferior de Cram´er-Rao es la par´abola que se muestra en la Figura 2.8.
La varianza de cualquier estimador insesgado debe ser una funci´on de θ con
valores dentro del ´area sombreada, es decir, por arriba de la cota inferior
indicada mediante la curva continua.

ˆ
Por ejemplo, consideremos el estimador θ “ X .Claramente esteestimador
1
es insesgado y su varianza es θp1 ´ θq.Se verifica entonces ladesigualdad

θp1 ´ θq ˆ
CICRpθq“ ď θp1 ´ θq“ Varpθq.
n
ˆ
La gr´afica de Varpθq“ θp1 ´ θq es tambi´en una par´abola pero se encuentra
por encima de la par´abola dada por CICRpθq, para 0 ď θ ď 1. Podemos
ˆ
¯
considerar tambi´en el estimador insesgado θ “ X. Claramente su varianza
es θp1 ´ θq{n y observamos que coincide con la CICR. En este caso, este es

el estimador insesgado para θ de varianza m´ınima, es decir, el UMVUE. ‚