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158 2. Estimaci´ on puntual

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parametral τpθq, simplemente se multiplica la cota anterior por pτ pθqq .
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De esta manera, la varianza de cualquier estimador insesgado para una fun-
ci´on parametral tiene como valor m´ınimo la funci´on CICRpθq. Por lo tanto,
en caso de existir un estimador insesgado con varianza igual a CICRpθq para
todo valor del par´ametro, sabemos que tal estimador es el mejor en t´ermi-
nos de ser insesgado y tener la varianza m´as peque˜na. A tales estimadores
les llamaremos estimadores insesgados de varianza m´ınima uniforme, o por
brevedad y por sus siglas en ingl´es UMVUE (Uniformly Minimum Variance
Unbiased Estimator). El adjetivo uniforme se refiere aqu´ıa que lavarianza
es la m´as peque˜na para cualquier valor del par´ametro dentro del espacio
parametral Θ.

Definici´on 2.17 Se dice que un estimador para un par´ametro es un
UMVUE si es insesgado y tiene varianza m´ınima dentro del conjunto
de todos los estimadores insesgados para el mismo par´ametro.

As´ı, si un estimador insesgado alcanza la CICR, es un UMVUE. Pero pue-
den existir estimadores que no alcanzan la CICR y ser un UMVUE si es que
ning´un otro estimador insesgado alcanza la varianza m´as peque˜na.

M´as adelante retomaremos el problema de determinar la existencia y unici-

dad de un estimador con estas caracter´ısticas. Antes de especificar las con-
diciones t´ecnicas bajo las cuales se cumple la cota inferior de Cram´er-Rao,
veamos algunos ejemplos del c´alculo de esta cota inferior.

Ejemplo 2.30 Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Berpθq, con θ

desconocido.
#
x 1´x
θ p1 ´ θq si x “ 0, 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

ˆ
Sea θ cualquier estimador insesgado para el par´ametro θ, definido a trav´es
de una muestra aleatoria de esta distribuci´on. Encontraremos la cota inferior
ˆ
de Cram´er-Rao para la varianza de θ.La funci´on parametral es τpθq“ θ