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2.8 Cota inferior de Cram´ er-Rao 157

aleatoria X ,...,X .Estoes conveniente notacionalmentepuesde esa ma-
1
n
nera no se hace uso de sub´ındices, e impl´ıcitamente se utiliza la hip´otesis
de id´entica distribuci´on de las variables de la muestra aleatoria. Por otro
lado, es importante observar que el t´ermino fpX, θq corresponde a la fun-
ci´on de densidad o de probabilidad fpx, θq evaluada en la variable aleatoria
X.Supondremosque tal operaci´on, junto con las que aparecen en la ex-
presi´on (2.6), produce nuevamente una variable aleatoria y que adem´as su
esperanza es finita.

Definici´on 2.16 Alaexpresi´on del lado derecho de (2.6) se le llama la
cota inferior de Cram´er-Rao (CICR) para la varianza de cualquier
estimador insesgado para τpθq yseledenotaporCICRpθq.

En general, la CICR es una funci´on del par´ametro θ yporello se lees-
cribe como CICRpθq, aunque en esta notaci´on no se hace referencia a la

funci´on parametral τpθq.As´ıesque debemostenercuidado enque alescri-
bir CICRpθq no haya duda de la funci´on parametral τpθq a la que se hace
referencia en dicha cota. En particular, si la funci´on parametral a estimar
es el mismo par´ametro θ, la cota inferior de Cram´er-Rao toma la siguiente
expresi´on reducida

1
CICRpθq“ . (2.9)
B 2
nE rp ln fpX, θqq s
Bθ

Cuando no se hace referencia a ninguna funci´on parametral, supondremos
impl´ıcitamente que la CICRpθq corresponde a la cota inferior para la va-
rianza de cualquier estimador insesgado para θ como aparece en (2.9).

Es interesante observar que el denominador de (2.6) no depende de la fun-
ci´on parametral, de modo que conociendo la cota inferior para la varianza
de cualquier estimador insesgado para θ,es casi inmediatoencontrar laco-
ta inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado de la funci´on