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156 2. Estimaci´ on puntual

De esta manera hemos comprobado que la variable aleatoria pB{Bθq ln fpX, θq
tiene esperanza nula. Suponiendo ahora la diferenciabilidad de la funci´on

parametral,
d
1
τ pθq“ EpTq
dθ
ż
d
“ Tpx ,...,x q fpx ,...,x , θq dx ¨¨¨ dx n
1
n
n
1
1
dθ R n
ż
B
“ Tpx ,...,x q fpx ,...,x , θq dx ¨¨¨ dx n (2.8)
1
n
1
1
n
R n Bθ
ż
B ln fpx 1 ,...,x n,θq
“ Tpx ,...,x q e dx ¨¨¨ dx n
1
1
n
R n Bθ
ż n
ÿ
B
“ Tpx ,...,x qr ln fpx , θqs fpx ,...,x , θq dx ¨¨¨ dx n
n
1
n
1
1
i
R n i“1 Bθ
n
ÿ
B
“ Ep T ¨ ln fpX , θqq
i
Bθ
i“1
n
ÿ B
“ CovpT, ln fpX , θqq.
i
Bθ
i“1
La ´ultima igualdad se obtiene recordando que CovpX, Y q“ EpXY q´
EpXqEpY q y usando la identidad (2.7). Ahora utilizaremos la desigualdad
a a
CovpX, Y q ď VarpXq VarpY q.Tenemos que
n
ÿ B
1 2
pτ pθqq ď VarpTq¨ Varp ln fpX , θqq
i
Bθ
i“1
n
ÿ
B
“ VarpTq¨ Varp ln fpX , θqq
i
Bθ
i“1
B
“ VarpTq¨ n Varp ln fpX, θqq
Bθ
B 2
“ VarpTq¨ nErp ln fpX, θqq s.
Bθ
‚
En el enunciado de la cota inferior de Cram´er-Rao y en su demostraci´on
hemos usado la letra X para indicar a cualquier elemento de la muestra