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2.8 Cota inferior de Cram´ er-Rao 155

cota inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado. Demostra-
remos este resultado para el problema general de estimar cualquier funci´on

parametral τpθq.

3
Teorema 2.2 (Cota inferior de Cram´er-Rao ) Sea X ,...,X una
n
1
muestra aleatoria de una distribuci´on con funci´on de probabilidad o de
distribuci´on fpx, θq,dependientedeun par´ametro desconocido θ.Sea T
un estimador insesgado para una funci´on parametral τpθq. Bajo ciertas
condiciones generales que especificaremos m´as adelante se cumple que

1 2
pτ pθqq
VarpTq ě . (2.6)
B 2
nE rp ln fpX, θqq s
Bθ

Demostraci´on. En los siguientes c´alculos llevaremos a cabo algunas
operaciones cuya validez supondremos impl´ıcitamente. Haremos el an´alisis
suponiendo, adem´as, el caso de variables aleatorias continuas. El caso dis-
creto se analiza de manera semejante.

ş
Sea X una variable cualquiera de la muestra aleatoria. Como fpx, θq dx “
R
1, derivando respecto de θ ysuponiendo v´alido el intercambio de la derivada
y la integral se tiene que

ż
d
0 “ fpx, θq dx
dθ R
ż
B
“ fpx, θq dx
Bθ
R
ż
B ln fpx,θq
“ e dx
Bθ
R
ż
B
“ fpx, θq ln fpx, θq dx
Bθ
R
B
“ Er ln fpX, θqs. (2.7)
Bθ
3 Harald Cram´er (1893-1985), matem´atico y estad´ıstico sueco.
3
Calyampudi Radhakrishna Rao (1920-), matem´atico y estad´ıstico hind´u.