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2.7 Sesgo y error cuadr´ atico medio 153

aparecen abajo y se verifican las relaciones generales de la proposici´on an-
terior. Observe que todas estas cantidades son funciones del par´ametro θ.

ˆ 1
Bpθq“ θ,
n ´ 1
ˆ n 2 2
Varpθq“ θ ,
pn ´ 1qpn ´ 2q
ˆ n ` 2 2
ECMpθq“ θ .
pn ´ 1qpn ´ 2q

‚

Ejercicios

183. Use la desigualdad de Jensen para demostrar, nuevamente, que

ˆ
ˆ
2
B pθq ď ECMpθq.

184. Demuestre las tres afirmaciones del Ejemplo 2.29.

ˆ
185. Criterio para la consistencia. Sea θ un estimador para un par´ame-
n
tro desconocido θ, basado en una muestra aleatoria de tama˜no n.De-
ˆ
ˆ
muestre que si l´ım ECMpθ q“ 0, entonces θ es consistente.
n
n
nÑ8
ˆ
ˆ
ˆ
En particular, cuando θ es insesgado, ECMpθ q“ Varpθ q ylahip´ote-
n
n
n
ˆ
sis se expresa como l´ım Varpθ q“ 0.
n
nÑ8
186. Insesgamiento no implica ECM menor. Sea X ,...,X una mues-
n
1
tra aleatoria de la distribuci´on Npµ, θq, en donde la varianza θ ą 0es
desconocida. Suponga n ě 2. Se proponen los siguientes dos estima-
dores para θ.
n
1 ÿ
ˆ
¯
2
θ 1 “ pX ´ Xq ,
i
n ´ 1
i“1
n
1 ÿ
ˆ
¯
2
θ 2 “ pX ´ Xq .
i
n ` 1
i“1