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152 2. Estimaci´ on puntual

funci´on del par´ametro a estimar. De la f´ormula que aparece en la definici´on
anterior, es claro que cuando el estimador es insesgado, el error cuadr´atico
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ˆ
medio es la varianza del estimador, es decir, ECMpθq“ Varpθq. Por lo tan-
to, plantearse el problema de encontrar estimadores insesgados con el error
cuadr´atico medio m´as peque˜no equivale a encontrar estimadores insesgados
de varianza m´ınima. Consideraremos este problema m´as adelante.

El sesgo y el error cuadr´atico medio est´an relacionados mediante las siguien-
tes f´ormulas.

ˆ
Proposici´on 2.3 Sea θ un estimador para un par´ametro θ.Entonces

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2 ˆ
ˆ
1. ECMpθq“ Varpθq` B pθq.
2 ˆ
ˆ
2. B pθq ď ECMpθq.

Demostraci´on. El primer resultado se obtiene a trav´es del an´alisis que
aparece abajo. El segundo resultado es una consecuencia inmediata del pri-
mero.

ˆ ˆ 2
ECMpθq“ Epθ ´ θq
ˆ ˆ ˆ 2
“ Erpθ ´ Epθqq ` pEpθq´ θqs
ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2
“ Epθ ´ Epθq ` 2Epθ ´ EpθqqpEpθq` θq`pEpθq´ θq
ˆ ˆ 2 ˆ 2
“ Epθ ´ Epθq `pEpθq´ θq
ˆ
ˆ
2
“ Varpθq` B pθq.

‚

Ejemplo 2.29 Considere la distribuci´on exppθq, con θ desconocido. Se pue-
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de comprobar que para el estimador θ “ 1{X se cumplen las f´ormulas que