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150 2. Estimaci´ on puntual

2
179. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npµ, σ q, con
1
n
2
µ y σ desconocidos. Defina la estad´ıstica
2X ` 4X `¨ ¨ ¨ ` 2nX n
2
1
T “ .
npn ` 1q

a)Demuestre que T insesgado para µ.

b)Demuestre que T consistente para µ.

c)Determine si m´ax t0,Tu es consistente para µ.

2
180. Distribuci´on normal. Demuestre que la varianza muestral S es un
2
estimador consistente para la varianza desconocida σ de una distri-
buci´on normal.

181. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on con funci´on
n
1
de densidad o de probabilidad fpx, θq como aparece abajo, en don-
ˆ
de θ es un par´ametro desconocido. Demuestre que θ “ X p1q es un
n
estimador consistente para θ.

#
e ´px´θq si x ą θ,
fpx, θq“
0 en otro caso.

182. Considere una distribuci´on con funci´on de densidad fpx, θq como se
especifica abajo, en donde ´1 ă θ ă 1esun par´ametro desconocido.
Demuestre que el estimador por el m´etodo de momentos dado por
ˆ ř n 3
θ “p5{nq i“1 X es consistente.
n
i
$
1 ` θx
& si ´ 1 ă x ă 1,
fpx, θq“ 2
0 en otro caso.
%

2.7. Sesgo y error cuadr´atico medio

En el siguiente enunciado formalizamos la definici´on de sesgo de un estima-
dor que hab´ıamos mencionado en la secci´on anterior.