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2.6 Consistencia 149

X ` 2X `¨ ¨ ¨ ` nX
ˆ 1 2 n
b) θ “ .
n
k ` 2k `¨ ¨ ¨ ` nk n
1
2
174. Consistencia {ùñ Insesgamiento. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on exppθq, con θ ą 0 desconocido. Sabemos que el
ˆ
estimador θ que aparece abajo no es insesgado para θ. Demuestre que
ˆ
θ es consistente. Este es un ejemplo de un estimador que es consistente
pero no es insesgado.
1
ˆ
θ “ .
¯
X
175. Insesgamiento {ùñ Consistencia. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on Poissonpθq,con θ ą 0desconocido.Demuestre
ˆ
que el estimador θ “pX ` X q{2es insesgadopero no es consistente
1
n
para θ.
176. Insesgamiento {ùñ Consistencia. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on exppθq, con θ ą 0desconocido.Se puede com-
probar que el estimador que aparece abajo es insesgado. Demuestre
ahora que no es consistente. Este es otro ejemplo de que la propiedad
de insesgamiento no implica la consistencia.

1
ˆ
θ “ n ¯ .
1 ` X
n´1
177. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on que aparece
n
1
abajo, en donde θ ą ´1esunpar´ametro desconocido. Demuestre que
ˆ ř n
el estimador por m´axima verosimilitud θ “´1 ´ n{ i“1 ln X es
i
n
consistente.
#
pθ ` 1qx θ si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

178. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq como
n
1
aparece especificada abajo, en donde θ ą 0esunpar´ametro desconoci-
ˆ
¯
do. Demuestre que el estimador por el m´etodo de momentos θ “ 3X
n
es consistente.
$
2pθ ´ xq
& si 0 ă x ă θ,
fpx, θq“ θ 2
0 en otro caso.
%