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148 2. Estimaci´ on puntual

ˆ
168. Funciones continuas de estimadores consistentes. Sea θ un
n
estimador consistente para θ ysea ϕ una funci´on continua con do-
ˆ
minio adecuado. Demuestre que ϕpθ q es consistente para la funci´on
n
parametral ϕpθq.

169. Desigualdad de Chebyshev. Sea X una variable aleatoria con se-
gundo momento finito. Demuestre que para cualquier , ą 0y cualquier
n´umero real a,

1
2
Pp|X ´ a| ą ,q ď EpX ´ aq .
, 2
Cuando se toma a “ EpXq, se obtiene

1
Pp|X ´ EpXq| ą ,q ď VarpXq.
, 2

170. Distribuci´on Bernoulli. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
¯
la distribuci´on Berpθq, con θ desconocido. Demuestre que X es un
estimador consistente para θ.

171. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
1
n
distribuci´on unifp0, θq, con par´ametro θ ą 0desconocido.Demuestre
que m´axtX ,...,X u es un estimador consistente para θ.
n
1
172. Distribuci´on normal. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
2
2
distribuci´on Npµ, σ q, en donde tanto µ como σ son desconocidos.
2
Demuestre que el estimador ˆσ que aparece abajo no es insesgado
2
pero es consistente para σ .
n
1 ÿ
2 ¯ 2
ˆ σ “ pX ´ Xq .
i
n
i“1
173. Sean X ,...,X variables aleatorias independientes tal que la i-´esi-
1
n
ma variable tiene distribuci´on binpk , θq.Suponga quelospar´ametros
i
k ,...,k son conocidos, pero θ es desconocido. Es inmediato compro-
n
1
bar que los siguientes estimadores son insesgados para θ. Demuestre
ahora que son consistentes.
X `¨ ¨ ¨ ` X
ˆ 1 n
a) θ “ .
n
k `¨ ¨ ¨ ` k n
1