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2.6 Consistencia 147

Para concluir esta secci´on y a manera de resumen de las definiciones de in-
sesgamiento, insesgamiento asint´otico y consistencia, tenemos la tabla que

aparece abajo.

Condici´on Propiedad

ˆ
Epθ q“ θ Insesgamiento
n
ˆ
Epθ qÑ θ Insesgamiento asint´otico
n
p
θ Ñ θ Consistencia
n

Tabla 2.5

Observe que cualquier otro criterio de convergencia o acercamiento de un
estimador al par´ametro desconocido puede ser considerado como una pro-
piedad deseable y eso genera otras posibles cualidades adicionales para el
estimador.

Ejercicios

ˆ
166. Convergencia en distribuci´on. Demuestre que un estimador θ es
n
ˆ
consistente para el par´ametro θ si, y s´olo si, θ converge en distribuci´on
n
alaconstante θ.

167. Propiedades de la convergencia en probabilidad a una cons-
ˆ
tante. Sea θ un estimador consistente para θ.Demuestreque
n
ˆ
a) aθ ` b es consistente para aθ ` b.Suponga a ‰ 0.
n
ˆ
b) |θ | es consistente para |θ|.
n
ˆ 2
2
c) θ es consistente para θ .
n
θ
d) e θ n es consistente para e .
ˆ
ˆ
e)1{θ es consistente para 1{θ,suponiendo θ ‰ 0, θ ‰ 0.
n
n
En el siguiente ejercicio se generalizan estos resultados.