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146 2. Estimaci´ on puntual

Estimadores para el par´ametro de la distribuci´on Ber(θ)

Estimador Insesgado Asint. insesgado Consistente

¯
(a) X si si si
(b) n ¯ no si si
X
n´1
(c) X 1 si si no
(d) n X no si no
n´1 1
(e) Ejemplo 2.27 no no si

Tabla 2.4

Ejemplo 2.27 (La consistencia no implica el insesgamiento, ni el
insesgamiento asint´otico.) Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on Berpθq, con θ desconocido. Sea Z otra variable aleatoria con
distribuci´on Berp1{nq eindependiente de lasanteriores.Defina ahoraeles-
timador
#
¯
X si Z “ 0,
ˆ
θ “
n
n si Z “ 1.
ˆ
Se comprueba que θ no es insesgado, ni asint´oticamente insesgado, pues
n
ˆ ˆ ˆ
Epθ q “ Epθ | Z “ 0q PpZ “ 0q` Epθ | Z “ 1q PpZ “ 1q
n
n
n
n ´ 1
“ θ ` 1
n
Ñ θ ` 1cuando n Ñ8.
ˆ
Sin embargo, θ es consistente pues para cualquier , ą 0,
n
ˆ ˆ
Pp|θ ´ θ| ą ,q “ Pp|θ ´ θ| ą , | Z “ 0q PpZ “ 0q
n
n
ˆ
`Pp|θ ´ θ| ą , | Z “ 1q PpZ “ 1q
n
n ´ 1 1
¯
“ Pp|X ´ θ| ą ,q ` Pp|n ´ θ| ą ,q
n n
Ñ 0 cuando n Ñ8.
‚