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144 2. Estimaci´ on puntual

Ejemplo 2.26 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
ˆ
¯
exppθq. El estimador m´aximo veros´ımil para θ est´a dado por θ “ 1{X.
n
Puede verificarse que este estimador no es insesgado pero es asint´oticamen-
te insesgado. Por lo tanto, para verificar la propiedad de consistencia es
ˆ
suficiente demostrar que Varpθ q tiende a cero cuando n tiende a infini-
n
to. Recordemos que X `¨ ¨ ¨ ` X tiene distribuci´on gamapn, θq.Entonces,
n
1
llevando a cabo las integrales correspondientes puede comprobarse que

¯ n 2 2 n
Varp1{Xq “ Ep 2 q´ E p q
pX `¨ ¨ ¨` X q X `¨ ¨ ¨ ` X n
1
1
n
n 2 n 2
2
“ θ ´ θ 2
pn ´ 1qpn ´ 2q pn ´ 1q 2
Ñ 0cuando n Ñ8.
ˆ
¯
Concluimos que el estimador θ “ 1{X es, efectivamente, consistente. ‚
n
Por otro lado, es ´util recordar que cuando el l´ımite de una sucesi´on de va-
riables aleatorias es una constante, la convergencia en probabilidad es equi-
valente a la convergencia en distribuci´on. Puede consultarse este resultado
en [12]. Por lo tanto, tenemos que un estimador es consistente si converge
d
ˆ
en distribuci´on al par´ametro a estimar. Esto se escribe θ Ñ θ ypuede
n
resultar un mecanismo alternativo m´as f´acil de verificar para demostrar la
propiedad de consistencia.

ˆ
Proposici´on 2.2 (Criterio para consistencia) El estimador θ es
n
consistente para el par´ametro θ si, y s´olo si, para cualquier x ‰ θ,

#
1si x ą θ,
ˆ
l´ım Ppθ ď xq“
n
nÑ8 0si x ă θ.

Demostraci´on. La convergencia en probabilidad y la convergencia en
distribuci´on son equivalentes cuando el l´ımite es constante. La funci´on de
distribuci´on de la variable aleatoria constante θ toma ´unicamente los valores
1 y 0 como aparece en la expresi´on de la derecha. ‚