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2.6 Consistencia 143

En general, puede ser una tarea complicada demostrar la convergencia en
probabilidad de una sucesi´on cualquiera de variables aleatorias. Sin embar-

go, cuando el l´ımite es una constante, en este caso el par´ametro a estimar,
tenemos el siguiente criterio para demostrar la propiedad de consistencia.

ˆ
Proposici´on 2.1 (Criterio para consistencia) Sea θ un estimador
n
para θ,basadoen unamuestraaleatoria detama˜no n.Si
ˆ
a) l´ım Epθ q“ θ y
n
nÑ8
ˆ
b) l´ım Varpθ q“ 0,
n
nÑ8
ˆ
entonces θ es consistente.
n

Demostraci´on. Se usa la siguiente versi´on de la desigualdad de Cheby-
shev: para cualquier , ą 0y cualquiern´umero real a,

1 2
Pp|X ´ a| ą ,q ď EpX ´ aq .
, 2
Entonces

ˆ 1 ˆ 2
Pp|θ ´ θ| ą ,q ď Epθ ´ θq
n
n
, 2
1
ˆ
ˆ
ˆ
“ Eppθ ´ Epθ qq ` pEpθ q´ θqq 2
n
n
n
, 2
1 ˆ ˆ 2
“ r Varpθ q`pEpθ q´ θq s
n
n
, 2
Ñ 0cuando n Ñ8.
‚
Es decir, si un estimador es asint´oticamente insesgado y su varianza tiende
acero, entonceses consistente. Enparticular,cuandosedeseeprobarla pro-
piedad de consistencia para un estimador insesgado, es suficiente verificar
que la varianza del estimador converge a cero.