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142 2. Estimaci´ on puntual

ˆ
no es insesgado. V´ease el ejercicio 147. Demuestre que θ es asint´oti-
n
camente insesgado.

#
θx θ´1 si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

2.6. Consistencia

Otra manera de medir la bondad de un estimador es a trav´es de la consisten-
cia. Esta propiedad establece la convergencia en probabilidad del estimador

al par´ametro a estimar cuando el tama˜no de la muestra crece a infinito.

ˆ
Definici´on 2.13 Sea θ un estimador para θ basado en una muestra
n
ˆ
ˆ
aleatoria de tama˜no n.Sediceque θ es consistente para θ si θ Ñ θ
n
n
en probabilidad, cuando n Ñ8.Esto es,paracualquier , ą 0,
ˆ
l´ım Pp|θ ´ θ| ą , q“ 0.
n
nÑ8

De esta manera, la cercan´ıa del estimador al par´ametro se define en el sentido
p
ˆ
de la convergencia en probabilidad y se usa la notaci´on θ Ñ θ.Observe
n
nuevamente que hemos a˜nadido el tama˜no de la muestra n como sub´ındice
en el estimador para enfatizar su dependencia impl´ıcita, o expl´ıcita, de esta

cantidad. Veamos un ejemplo de la propiedad de consistencia.

Ejemplo 2.25 Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad o de
probabilidad fpx, θq,dependiente deunpar´ametro desconocido θ, el cual se
desea estimar a trav´es de una muestra aleatoria de tama˜no n.Supongamos
que EpXq“ θ.Tal situaci´on se presenta, por ejemplo, en la distribuci´on
Bernoulli, la distribuci´on Poisson, o la distribuci´on normal. Entonces, por
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la ley d´ebil de los grandes n´umeros, el estimador θ “ X es consistente para
n
θ pues, cuando n Ñ8,
p
ˆ
θ Ñ θ.
n
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