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2.5 Insesgamiento asint´ otico 141

159. Distribuci´on Poisson. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una
1
n
distribuci´on Poissonpθq,endonde θ ą 0esdesconocido. Demuestre que
2
¯ 2
X es asint´oticamente insesgado para θ .
160. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
n
1
una distribuci´on unifp0, θq,en donde θ ą 0es desconocido.
ˆ
a)Demuestre que el estimador θ “ X pnq no es insesgado para θ,
n
sin embargo, es asint´oticamente insesgado.
b)Encuentre un estimador insesgado para θ.

161. Distribuci´on exponencial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria
1
n
de una distribuci´on exppθq, con θ desconocido. Demuestre que el esti-
mador por m´axima verosimilitud que aparece abajo es asint´oticamente

insesgado.
1
ˆ
θ “ ¯ .
n
X
162. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on dependiente
n
1
de un par´ametro desconocido θ,cuyamedia esestemismopar´ametro
¯ 2
y con segundo momento finito. Demuestre que la estad´ıstica X es un
2
estimador asint´oticamente insesgado para θ .

163. M´axima verosimilitud no implica insesgamiento. Sabemos que
el estimador m´aximo veros´ımil para el par´ametro θ de la distribuci´on
¯
ˆ
ˆ
exponencial es θ “ 1{X.Demuestre que θ no es insesgado pero es
asint´oticamente insesgado.
164. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on con funci´on
n
1
de densidad o de probabilidad fpx, θq como aparece abajo, en donde
θ es un par´ametro desconocido y con valores reales. Demuestre que el
ˆ
estimador por m´axima verosimilitud θ “ X no es insesgado pero es
p1q
asint´oticamente insesgado para θ.

#
e ´px´θq si x ě θ,
fpx, θq“
0 en otro caso.

165. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
n
1
especifica abajo, en donde θ ą 0esdesconocido.Sabemosque eles-
ˆ ř n
timador por el m´etodo de m´axima verosimilitud θ “´n{ i“1 ln X i
n